sexta-feira, 4 de março de 2011

Relação de Euler

Relação de Euler


A) Prismas



Base do Prisma
Representação
Número de Vértices
Número de Faces
Número de Arestas
Triangular

6
5
9
Retangular

8
6
12
Pentagonal

10
7
15
Hexagonal

12
8
18
...
...
...
...
...
n
*
2.n
n + 2
3.n



  • A representação pode ser feita no quadro negro pelo professor *.
  • n é o número de Vértices da Face do Prisma, que observamos frontalmente.
  • Podemos então concluir que o número de Vértices nas duas Faces, são o dobro de n. 
  • Quanto as Faces contamos as Faces Paralelas e pensando na Planificação contamos as outras Faces, logo temos n + 2 em relação a Face observada.  
  • Quanto as Arestas observamos o triplo de n, ou seja, 3.n.   



B) Pirâmides



Base da Pirâmide
Representação
Número de Vértices
Número de Faces
Número de Arestas
Triangular

4
4
6
Retangular

5
5
8
Pentagonal

6
6
10
Hexagonal

7
7
12
...

...
...
...
n**
*
n + 1
n + 1
n + n ou 2.n


  • O professor deve fazê-la no quadro negro pensando sempre que a representação de uma Pirâmide exige que seja pontilhado as Arestas que aparecem no fundo do esboço*.
  • n é o número de Arestas que parte de cada Vértice**.
  • Podemos observar a Relação de Euler tanto para os Prismas como para as Pirâmides. Façamos por analogia: Prisma de base Triangular, 6 Vértices  + 5 Faces  =  9 Arestas + 2, portanto 11 = 11.
  • Pirâmide de base Triangular, 4 Vértices + 4 Faces = 6 Arestas + 2, portanto 8 = 8.
  • V + F – 2 = A. 
  • Devemos pensar quais destas duas proposições são válidas para Relação de Euler.  
  • Para os sólidos de Platão também é válida a Relação de Euler?
  • Quem foi Leohard Euler? 
  • O Hexaedro, o Tetraedro, o Dodecaedro, o Icosaedro e o Octaedro são conhecidos por sólidos de Platão?
  • Quantas Faces, Vértices e Arestas têm respectivamente os sólidos de Platão?



PCOP de Matemática do E.F. II – Lúcio Mauro Carnaúba     


Podemos juntamente com os alunos construir estes sólidos geométricos com látex, fazendo conectores que representam os vértices e varetas de palito de churrasco que representam as Arestas. As faces podem ou não serem confeccionadas com papel ou outro material qualquer.
Sugestão encontrada nos E.M. – Experiências matemáticas – CENP/SEESP.

Há também uma sugestão de construção de Triângulos Eqüiláteros no Para-didático do autor: “Imenes”, com conectores feitos de papel sulfite, que permitem construir Tetraedros, Octaedros e outros sólidos geométricos.
   



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